Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений сколькими маршрутов он может выбрать

Информация

5. Курьер должен разнести пакеты в 7 различныхучреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?1) 492) 50403)144) 96​

Нааа, а то мне в лом писать, надеюсь правильно

Предложите, как улучшить StudyLib

(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте

другую форму
)

Заполните, если хотите получить ответ

Оцените наш проект

Найти 15% от числа 58

1 год назад

Решите уравнение 3x^2-17/x-2=2x+4

2 года назад

Докажите. что число 8^17 – 2^45 кратно 18

Ответ на картинке внизу страницы

Прочитать ещё 2 ответа

Розв’яжіть систему рівнянь: х+у=8 3х-2у=9

Y=8-xПодставляем во второе уравнение и получаем:3х-2*(8-х)=93х-16+2х=95х=25х=5y=3

Вариант 4 а и в как делать объясните пожалуйста

7! (7 факториал)7*6*5*4*3*2*!=5040

Найди площадь первого участка по формуле-s=a*b/ втоой участок уменьши на 20%от числа45,а ширину увеличь на теже 20%

РЕШЕНИЕПостроили график функции — рисунок в приложении.И находим два возможных варианта ответа.m1 = — 3,5   m2 = 1.5 — значения m —  ОТВЕТ

Элементарные действия со степенями.

Вот посмотри я уже сегодня это решил:

Visitors in the Guests group cannot leave comments on this post.

You cannot chat, you are banned.

Confirm your email to chat
Resend email

Login with Google

Forgot your password?

I don’t have an account, I want to Register

Choose a language and a region

Самые новые вопросы

Математика — 2 года назад

Решите уравнения:
а) 15 4 ∕19 + x + 3 17∕19 = 21 2∕19;
б) 6,7x — 5,21 = 9,54

Информатика — 2 года назад

Помогите решить задачи на паскаль.1)
дан массив случайных чисел (количество элементов
вводите с клавиатуры). найти произведение всех элементов массива.2)
дан массив случайных чисел (количество элементов
вводите с клавиатуры). найти сумму четных элементов массива.3)
дан массив случайных чисел (количество элементов
вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива.4)
дан массив случайных чисел (количество элементов
вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива среди элементов,
кратных 3.

География — 2 года назад

Почему япония — лидер по выплавке стали?

Чему равно: 1*(умножить)х?     0*х?

Русский язык — 2 года назад

В каком из предложений пропущена одна (только одна!) запятая?1.она снова умолкла, точно некий внутренний голос приказал ей замолчать и посмотрела в зал. 2.и он понял: вот что неожиданно пришло к нему, и теперь останется с ним, и уже никогда его не покинет. 3.и оба мы немножко удовлетворим свое любопытство.4.впрочем, он и сам только еле передвигал ноги, а тело его совсем застыло и было холодное, как камень. 5.по небу потянулись облака, и луна померкла.

7! Распишем 7!: 1*2*3*4*5*6*7=5040может выбрать 5040 маршрутов

6 1/4 * 70 2/5 = 353/5 *25/5 = 8800/20 = 440руб.

Пусть ширина прямоугольника а, длина в, диагональ с.

Найдем стороны прямоугольника по теореме Пифагора

Без пяднатцати это значит что минут 45 например:11:45,12:45 и так далее.Это очень легко позорник

А что нужно? Ответить

Алгебра Примеры комбинаторных задач

В науке и на практике часто встречаются задачи, при решении которых нужно составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел, в котором они рассматриваются, — комбинаторикой.

Методы комбинаторики применяются в физике, химии, биологии, экономике и других областях знаний.

Рассмотрим некоторые комбинаторные задачи.

Пример первый. Из группы спортсменов по гребле, в которую входят четыре человека – Андреев, Гришин, Степанов и Николаев, тренер выделяет двоих для участия в соревнованиях пар. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

Решение. Составим сначала пары, в которые входит Андреев. Для краткости будем писать первые буквы фамилий. Получим три пары: Андреев-Гришин, Андреев-Степанов, Андреев-Николаев.

Выпишем теперь пары, в которые входит Гришин, но не входит Андреев. Таких пар две: Гришин-Степанов, Гришин-Николаев.

Далее составим пары, в которые входит Степанов, но не входят Андреев и Гришин. Такая пара одна: Степанов-Николаев.

Других вариантов составления пар нет, потому что все пары, в которые входит Николаев, уже составлены.

Итак, получили шесть пар: Андреев-Гришин, Андреев-Степанов, Андреев-Николаев, Гришин-Степанов, Гришин-Николаев, Степанов-Николаев.

Значит, всего существует шесть вариантов выбора тренером пары спортсменов по гребле из данной группы.

Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.

Второй пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр два, четыре, шесть, восемь, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Чтобы ответить на вопрос задачи, выпишем все такие числа. Пусть на первом месте стоит цифра два, на втором месте может быть записана любая из цифр: четыре, шесть, восемь. Запишем, например, на втором месте цифру четыре. Тогда в качестве третьей цифры можно взять цифру шесть или восемь. Получим два числа двести сорок шесть и двести сорок восемь. Если на втором месте записать цифру шесть, то в качестве третьей цифры можно взять цифру четыре или восемь. В этом случае получим числа двести шестьдесят четыре и двести шестьдесят восемь. Если же на втором месте записать цифру восемь, то получим числа двести восемьдесят четыре и двести восемьдесят шесть.

Аналогичным способом можно составить числа, которые начинаются с цифры четыре, с цифры шесть, с цифры восемь.

Таким образом, из цифр два, четыре, шесть, восемь можно составить двадцать четыре трехзначных числа, в записи которых цифры не повторяются.

Заметим, что ответ на вопрос, поставленный во втором примере, можно получить, не выписывая сами числа. Будем рассуждать так. Первую цифру можно выбрать четырьмя способами. После этого останутся три цифры, которые могут стоять на втором месте, и третью цифру можно выбрать из оставшихся двух. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению четыре, три и два, то есть двадцати четырем.

Мы нашли ответ на поставленный во втором примере вопрос, используя комбинаторное правило умножения.

Сформулируем это правило в общем виде.

Пусть имеется эн элементов и требуется выбрать из них один за другим ка элементов. Если первый элемент можно выбрать (эн первое) способами, после чего второй элемент можно выбрать (эн второе) способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать (эн третье) способами из оставшихся и так далее, то число способов, которыми могут быть выбраны все ка элементов равно произведению эн первого, эн второго, эн третьего и так далее до эн с индексом ка.

Пример третий. Из города А в город Бэ ведут три дороги, из города Бэ в город Цэ — четыре дороги, из города Це до пристани – две дороги. Туристы хотят проехать из города А через город Бэ и це к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут.

Путь из А в Бэ туристы могут добраться тремя способами. Далее в каждом случае они могут проехать из Бэ в Це четырьмя способами. Таким образом, имеются три умноженное на четыре вариантов маршрута из А в Це. Так из города Це на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует три умноженное на четыре умноженное на два, то есть двадцать четыре способа выбора туристами маршрута из города А к пристани.

Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!

Тема урока: Элементы комбинаторики

Создать условия для:

Знакомства обучающихся с новым разделом математики: «Комбинаторика»,  применения основных понятий элементов комбинаторики при решении задач, использования комбинаторных навыков в практических целях и в жизни человека, опираясь на математические подсчеты.

Развития у обучающихся  умения решать комбинаторные  задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» по формулам, практических навыков и умений, аналитических способностей, логического мышления.

Формирования активности личности обучающегося, умения работать в группе, дл привития интереса обучающихся к данной науке, понимания того, что решения комбинаторных задач возникли из практических потребностей человека.

Тип урока: комбинированный

Оборудование: компьютер, проектор, экран, презентация, тесты, учебники математики Н.В. Богомолов..

Технологическая карта урока:

Элементы комбинаторики. Примеры комбинаторных задач

Задачи, решая которые приходитсясоставлять различные комбинации изконечного числа элементов иподсчитывать число комбинаций ,называютсяРаздел математики , в которомрассматриваются подобные задачи,называют комбинаторикойСлово «комбинаторика» от латинскогоcombinare — «соединять , сочетать»

Пример 1

Из группы теннисистов, в которую входят четыречеловека-Антонов, Григорьев , Сергеев и Федоров ,тренер выделяет пару для участия в соревнованиях .Сколько существует вариантов выбора такой пары?АГ, АС, АФГС, ГФСФЗначит, всего существует шесть вариантов выбораСпособ рассуждений , которым мы воспользовались ,называют перебором возможных вариантов

Пример 2

Сколько трехзначных чисел можносоставить из цифр 1, 3, 5, 7 ,используя взаписи числа каждую из них не болееодного раза?Чтобы ответить на вопрос задачи , выпишем все такиечисла .

Полученные результаты запишем в четырестроки , в каждой из которых шесть чисел:135 137153 157 173 175315 317351 357 371 375513 517531 537 571 573713 715731 735 751 753

Способ второй

Проведенныйперебор вариантовпроиллюстрирован на схемеТакуюсхему называют деревомвозможных вариантов

Способ третий

Из города А в город В ведут две дороги, из города В вгород С – три дороги , из города С до пристани-дведороги . Туристы хотят проехать из города А через В и Ск пристани . Сколькими способами они могут выбратьмаршрут?Решение: 2*3*2=12

4. В шахматном турнире участвуют 9 человек.

Каждыйиз них сыграл с каждым по одной партии. Скольковсего партий было сыграно?Ответ:36 партий5. При встрече 8 человек обменялись рукопожатиями.Сколько всего было сделано рукопожатий?Ответ:28 рукопожатий6. Учащиеся 9 класса решили обменятьсяфотографиями. Сколько фотографий для этогопотребуется, если в классе 24 учащихся?Ответ:552 фотографии

7. В кафе имеются три первых блюда , пять вторыхблюд и два третьих. Сколькими способами посетителькафе может выбрать обед , состоящий из первого ,второго и третьего блюд?Ответ:30 способов8. Петр решил пойти на новогодний карнавал вкостюме мушкетера. В ателье проката ему предложилина выбор различные по фасону и цвету предметы:пять видов брюк , шесть камзолов , три шляпы , двепары сапог . Сколько различных карнавальныхкостюмов можно составить из этих предметов?Ответ:180 костюмов

Простейшими комбинациями , которые можносоставить из элементов конечного множества ,являются перестановкиЧисло перестановок из n элементов обозначаютсимволом Рn(читается «Р из n»)Для произведения первых n натуральных чиселиспользуют специальное обозначение: n! ( читается nфакториал)2!=2; 5!=120; 1!=1

Примеры задачТаким образом , число всевозможных перестановок изn элементов вычисляется по формуле: Рn=n!Пример 1. Сколькими способами могут бытьрасставлены 8 участниц финального забега на восьмибеговых дорожках?Р8=8!=40320Пример 2. Сколько различных четырехзначных чисел, вкоторых цифры не повторяются, можно составить изцифр 0, 2, 4, 6?Из цифр 0,2,4,6 можно получить Р4 перестановок. Изэтого числа надо исключить те перестановки , которыеначинаются с 0.Получаем: Р4-Р3=4!-3!=18Пример 3. Имеется 9 различных книг, четыре изкоторых- учебники . Сколькими способами можнорасставить эти книги на полке так , чтобы всеучебники стояли рядом?Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу.Тогда на полке надо расставить не 9,а 6 книг . Этоможно сделать Р6 способами. В каждой из полученныхкомбинаций можно выполнить Р4 перестановокучебников. Значит , искомое число способоврасположения книг на полке равно произведениюР6*Р4.

1. Сколькими способами 4 человека могут разместиться начетырехместной скамейке?Ответ:242. Курьер должен разнести пакеты в 7 различныхучреждений. Сколько маршрутов может он выбрать?Ответ:50403. Сколько шестизначных чисел(без повторения цифр)можно составить из цифр: а)1,2,5,6,7,8; б)0,2,5,6,7,8 ?Ответ : а)720;б)6004. В расписании на понедельник шестьуроков:алгебра,геометрия,биология,история,физкультура,химия.Сколькими способами можно составить расписаниеуроков на этот день так , чтобы два урока математикистояли рядом?Ответ:240

5. Делится ли число 14! На:А)168; б)136;в)147;г)132?6.7.Ответ на 6) :15; 1/90; 1722; 40

Проверочная работа

1 ВАРИАНТ1. Комбинаторные задачи2. Способы решениякомбинаторных задач3. Вычислить2 ВАРИАНТ1. Перестановки , формула2. Комбинаторика3.

Пусть имеется 4 шара и 3 пустых ячейки . В пустые ячейки можно поразному разместить три шара из этого набора шаров . Выбираяразными способами первый , второй и третий шары , будем получатьразличные тройки шаров.Каждую упорядоченную тройку , которую можно составить изчетырех элементов , называют размещением из четырех элементовпо триРазмещением из n элементов по к (к<n) называется любоемножество , состоящее из любых к элементов , взятых вопределенном порядке из данных n элементовЧисло размещений из n элементов по к обозначаютЧитают « А из n по к »Формула для вычисления числа размещений из nэлементов по к

1. Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькимиспособами можно составить расписание на один день, чтобы в нембыло 4 различных предмета?В этом примере речь идет о размещениях из 8 элементов по 4.Имеем:2. Сколько трехзначных чисел ( без повторения цифр в записичисла) можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6?Среди данных цифр есть цифра 0, с которой не может начинатьсятрехзначное число .

1. Сколькими способами может разместиться семья из трехчеловек в четырехместном купе, если других пассажиров в купенет?Ответ: 242. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя исекретаря. Сколькими способами это можно сделать?Ответ: 8703. Сколькими способами организаторы конкурса могутопределить, кто из 15 его участников будет выступать первым,вторым и третьим?Ответ: 27304. На странице альбома 6 свободных мест для фотографий.Сколькими способами можно вложить в свободные места: а)2фотографии; б) 4 фотографии; в) 6 фотографий?Ответ: 30;360;720

Сочетанием из n элементов по к называется любоемножество , составленное из данных n элементовВ отличие от размещений в сочетаниях не имеет значения , вкаком порядке указаны элементы .Два сочетания из элементов пок отличаются друг от друга хотя бы одним элементомОбозначаютЧитают «С из n по к»Формула числа сочетаний из n элементов по к ,где к<n

1. В классе 7 человек успешно занимаются математикой.Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия вматематической олимпиаде?Ответ:212. Учащимся дали список из 10 книг , которые рекомендуетсяпрочитать во время каникул. Сколькими способами ученик можетвыбрать из них 6 книг?Ответ:2103. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборкитерритории требуется выделить четырех мальчиков и трехдевочек. Сколькими способами это можно сделать?Ответ:4004004. В библиотеке читателю предложили на выбор из новыхпоступлений 10 книг и 4 журнала.

Сколькими способами он можетвыбрать из них 3 книги и 2 журнала?Ответ:720

Домашняя работа Самостоятельная работа

1. Сколькими способами 9 участников конкурсамогут выступить в порядке очередности вфинале ?2. Делится ли число 40! на: а)410;б)500;в)780?3. Используя цифры 0,3,7,8 составьте всевозможные двузначные числа, в которых цифрыне повторяются4. В городской думе 10 депутатов моложе 30 лет.Сколькими способами можно выбрать из нихтроих для работы в комитете по молодежнойполитике?

Примеров комбинаторики в реальной жизни | Виджай Гадре | Geek Culture

Для следующего набора задач определите, какую часть комбинаторики нам нужно использовать, и примените соответствующую формулу. Имейте в виду, что может быть более одного правильного подхода к некоторым (или ко всем) из этих вопросов.

Представьте, что вы работаете в офисе и у вас есть 5 задач, помеченных как «Критические» в Jira, которые нужно выполнить к концу дня. Сколькими способами вы можете выполнить указанные задачи до конца дня?

** «Jira» — это программа для управления проектами, которая позволяет создавать задачи и маркировать их в зависимости от их важности. «Критический» — это самый высокий уровень важности, и никакая задача с более низким уровнем не может быть запущена после запуска такой задачи.

Нам нужно устроить все 5 заданий; следовательно, мы ищем число Перестановка между 5 элементами.

Таким образом, у нас 5! = 120 способов выполнения наших заданий.

Теперь в нашем распоряжении 8 баннеров, их нужно разместить на 5 платформах.

В этом году вы помогаете организовать фестиваль карьеры в вашем колледже. Участвуют 11 компаний, и у вас достаточно места для всех. Сколькими способами вы можете расположить различные фирмы, предполагая: —

Комбинаторика, элементы, решение задач и формулы. Алгебра 9 класс, урок и презентация

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Комбинаторика — знакомство

Ребята, мы переходим к изучению новой темы. На сегодняшнем уроке, мы будем изучать комбинаторные задачи. Раздел комбинаторики можно выделить как самостоятельный раздел, но он также является очень важным для изучения наших дальнейших тем математической статистики и теории вероятности.

Так что же такое комбинаторика? И какими задачами она занимается? Комбинаторика и слово комбинация очень похожи и имеют прямое отношение друг к другу. В комбинаторике изучают различные комбинации элементов множества и отношения на этих множествах. Впервые термин «комбинаторика» ввел Лейбниц, который в 1666 году опубликовал большой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Примеры использовании комбинаторики

Давайте рассмотрим пример. Сколько чисел можно составить из цифр: 1,2,3? Нужно найти количество комбинаций из трех чисел.

Пример. Из цифр 1,4,6 составить трехзначные числа, в которых одна цифра не может повторяться более двух раз.а) Найти наименьшее число.б) Найти наибольшее число.в) Сколько чисел, начинающихся с 6, можно составить?г) Сколько всего чисел можно составить?Решение.а) Чтобы получить наименьшее число, нам нужно на первое место поставить наименьшую цифру, потом на второе и третье — соответственно тоже.

Наименьшим числом будет 114 так, как самая маленькая цифра у нас единица, и мы ее можем повторить два раза. А из цифр 4 и 6, которые нам надо поставить на третью позицию, очевидно, что 4 меньше 6.б) Чтобы получить наибольшее число, нам нужно на первое место поставить наибольшую цифру, потом на второе и третье — соответственно тоже. Наибольшим числом будет 664 так, как самая большая цифра у нас 6, и мы ее можем повторить два раза. 4 больше 1, тогда на последнее место и выберем 4.в) Назовем числа без повторяющихся цифр. Помним, что все числа должны начинаться с 6. 614 и 641 – без повторяющихся цифр. Теперь рассмотрим числа, в которых повторяется шестерка. 661, 664, 616, 646. Повторяется четверка: 644. Повторяется единица: 611. Всего у нас получилось 8 чисел.г) Для того, чтобы подсчитать общее количество чисел, которые можно составить, применим тот же способ, что и в пункте в). На первое место поставим цифры 1 и 4, тогда у нас получится еще 16 комбинаций. Учтем, числа начинающиеся с шести, и того 24 комбинации.

Пример. В урне лежат два белых и один черный шар. На ощупь их различить невозможно. При вытаскивании белого шара его откладывают в сторону, если вытащили черный шар, то его кладут обратно. Шары вытаскивают три раза подряд.а) Нарисовать дерево событий.б) В скольких случаях вытащат шар одинакового цвета?в) В скольких случаях вытащенных белых шаров будет больше?Решение.а) В вершине дерева обозначены шары, оставшиеся в урне. На ветвях дерева обозначены вытащенные шары.

б) Как видно из рисунка три одинаковых шара можно вытащить только в одном случае, когда они все черные.в) Три белых шара вытащить невозможно. Значит нам осталось посчитать количество комбинаций с двумя белыми шарами, нам подходят случаи когда на ветвях дерева встречаются две буквы Б. Такие комбинации: ЧББ, БЧБ, ББЧ. Получили, что всего три комбинации.В нашем примере количество комбинаций сравнительно немного, но бывают случаи, когда комбинации исчисляются сотнями, и рисовать дерево очень проблематично. Как нам тогда поступить?

Для подсчета комбинаций существует правило умножения: Для того, чтобы найти количество возможных исходов двух независимо проведенных испытаний А и Б, нужно умножить число всех исходов испытания А на число всех исходов испытания Б.

Правила в комбинаторике

Давайте посмотрим правило умножения на примере.Пример. Петя может доехать до школы четырьмя способами: на трамвае, на автобусе, на троллейбусе и маршрутке. Оплатить проезд можно тремя способами:

Сколько существует всего комбинаций проезда и оплаты у Пети?Решение.Возможностей проезда у нас — четыре, способов оплаты — три. Тогда по правилу умножения у нас $4*3=12$ комбинаций. Давайте проверим с помощью таблицы все возможные комбинации.
Выбор способа оплаты и способа проезда независимы. В каждую ячейку ставим по одному из событий, получаем 12 возможных ячеек. Наш ответ совпал с тем, что получили по правилу умножения.Выбор способа решения задачи всегда остается за вами, ребята. Но правило умножения во многом облегчает решение многих задач, так как рисование дерева событий или таблицы возможных вариантов очень неудобно при большом количестве событий.

Правило умножения приводит к важному понятию факториала. Давайте на примере разберем это понятие.Пример. Сколько существует комбинаций из шести букв: А, Б, В, Г, Д, Е. Буквы не повторяются.Решение. На первое место мы можем поставить шесть букв, на второе место — уже пять, так как буквы не повторяются, на третье — соответственно четыре, на четвертое — три, на пятое — две, и на шестое — букву.

Пример.а) Сколько существует способов развесить на указанные места на елке пять различных шаров?б) Вове надо выполнить четыре домашних задания: по математике, физике, русскому языку и истории. Сколько существует способов очередности выполнения домашнего задания?Решение. а) В нашей задаче шары не повторяются.

Тогда на первое место претендуют пять шаров, на второе — уже четыре, на третье — соответственно три, на четвертое — два и на последнее — один.
$5*4*3*2*1=5!=120$.б) Существует четыре варианта: с какого задания начать. Выполнив первое задание, Вове останется выбрать, что делать дальше из трех заданий, после — из двух и в конце останется только одно задание.
$4*3*2*1=4!=24$.

Условия наши задачи совершенно разные, но способ решения у них один. Давайте выведем общее правило решения таких задач: N различных предметов можно расставить, без повторения элементов, на N различных места ровно N! способами.

Задачи для самостоятельного решения

1. Из цифр 2,7,9 составить двухзначные числа, в которых цифры не повторяются.а) Найти наименьшее число.б) Найти наибольшее число.в) Сколько чисел, начинающихся с 2, можно составить?г) Сколько всего чисел можно составить?

В урне лежат два белых и два черных шара. На ощупь их различить невозможно. При вытаскивании белого шара его откладывают в сторону, если вытащили черный шар, то его кладут обратно. Шары вытаскивают четыре раза подряд.а) Нарисовать дерево событий.б) В скольких случаях вытащат шары одинакового цвета?в) В скольких случаях белые шары появятся раньше?

3) Саша может выбрать обед из трех блюд: суп, плов, рис с котлетой и из пяти напитков: сок, чай, кофе, лимонад, компот.Сколько всего комбинаций из блюд может выбрать Саша?

4. Стрелок стреляет по шести мишеням из шести орудий. В одну мишень производится только один выстрел. Выстрелив один раз из орудия, стрелок откладывает его в сторону. Сколько комбинаций выстрелов по мишеням у него имеется?

Решение комбинаторных задач с помощью таблицы вариантов, правило суммы и произведения

Каждый из кубиков имеет 6 возможных «состояний»: 1,2,3,4,5,6.

Для того, чтобы описать все возможные комбинации двух кубиков, нужно составить таблицу вариантов:

Сумма выпавших чисел на кубиках кратна 5 в 7 случаях (ячейки таблицы закрашены). Общее количество возможных комбинаций – 36.

2 = 3$ разными способами.

По правилу суммы у нас 3+3 = 6 способов для выбора.

Сколько существует различных двузначных кодовых слов, состоящих из одной буквы И одной цифры, если разрешенные символы – это 5 букв «a,b,c,d,e» и 3 цифры «1,2,3»?

По правилу произведения число всех кодовых слов – всех возможных комбинаций: $m cdot n = 5 cdot 3 = 15$ слов.

Пример 1. При составлении расписания завуч хочет на первый урок поставить алгебру или физику, а на второй – историю, географию или иностранный язык. Сколько существует вариантов расписания для первых двух уроков? Изобразите их с помощью таблицы вариантов.

Для первого урока есть m = 2 варианта.

Для второго урока n = 3 варианта.

По правилу произведения общее число вариантов для двух уроков

$mn = 2 cdot 3 = 6$ вариантов.

Ответ: 6 вариантов

Пример 2. Из коробки с 12 фломастерами разного цвета один фломастер берет Коля, а за ним – один фломастер берет Петя. Сколько существует различных вариантов такого выбора фломастеров?

Перед Колей на выбор 12 фломастеров – у него m = 12 вариантов.

Перед Петей остаётся на выбор 11 фломастеров – у него n = 11 вариантов.

По правилу произведения общее число вариантов: $ mn = 12 cdot 11 = 132$

Ответ: 132 варианта

Пример 3. Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0,1,2,3,4,5, если а) цифры могут повторяться; б) цифры не повторяются.

В разряде сотен могут быть цифры 1,2,3,4,5, всего m=5 вариантов

В разряде десятков могут быть цифры 0,1,2,3,4,5, всего n=6 вариантов

В разряде единиц могут быть цифры 0,1,2,3,4,5, всего k=6 вариантов

По правилу произведения общее количество возможных трёхзначных чисел:

$$ mnk = 5 cdot 6 cdot 6 = 180 $$

В разряде сотен могут быть цифры 1,2,3,4,5, всего m = 5 вариантов

В разряде десятков не цифра сотен, всего n = 5 вариантов

В разряде единиц не цифра десятков и не цифра сотен, всего k = 4 варианта

Всего $mnk = 5 cdot 5 cdot 4 = 100$

Ответ: а) 180; б) 100

Сколькими способами можно рассадить четырёх щенков по четырём углам комнаты?

У первого щенка $m_1 = 4$ варианта углов.

У второго щенка, т.к. один угол уже занят, остаётся $m_2 = 3$ варианта углов.

У третьего щенка, т.к. два угла уже заняты, остаётся $m_3 = 2$ варианта углов.

У четвертого щенка выбора нет, ему остался $m_4 = 1$ угол, без вариантов.

Общее количество способов по правилу произведения:

$$ m_1 cdot m_2 cdot m_3 cdot m_4 = 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 = 24 $$

Ответ: 24 способа

Пример 5. Сколько существует способов занять 1,2 и 3 места на чемпионате, в котором участвуют 10 команд?

Для того, чтобы занять 1-е место существует $m_1 = 10$ претендентов.

Если 1-е место определено, для 2-го места остаётся $m_2 = 9$ претендентов.

Если 1-е и 2-е определено, для 3-го места остаётся $m_3 = 8$ претендентов.

Итого, по правилу произведения:

$m_1 cdot m_2 cdot m_3 = 10 cdot 9 cdot 8 = 720$ вариантов распределения призовых мест.

Ответ: 720 способов